等比数列通项公式及前n项和.ppt

发布于:2021-10-16 23:44:27

用辽大教辅 考名牌大学 第三讲 等比数列 www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 高考导航 考 纲 展 示 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用 有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 复 * 策 略 本讲的复*,应紧扣等比数列的概念,理解等比数列的 相关公式和性质,通过基本题型的解决,掌握通性通法.在 2011 年高考中,辽宁卷第 5 题、广东卷第 11 题、北京卷第 12 题、新课标全国卷第 17 题等都对本讲进行了考查.重点 解决: (1)等比数列的通项公式及性质的应用; (2)等比数列的前 n 项和公式的应用. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 学 之 趣 兴趣是最好的老师 www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 基础梳理 1. 数列 {an} 从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于 同一个常数 的数列叫等比数列,这个常数 ____________ ________叫公比. n-1 a q 2.等比数列{an}的通项公式 an=________ ,前 n 项和公 1 ?na1,q=1, ? ?a1? 1-qn? ? 1-q ,q≠1 式 Sn=________. ? www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 感悟探究 1 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=aqn+b, (a,b∈R),{an}是等比数列,则 a,b 满足的条件是什么? 【答案】 a,b 满足的条件是 a+b=0 且 a≠0,b≠0. a1? 1-qn? a1 n a1 若设{an}的公比为 q,则 Sn= =- · q+ , 1-q 1-q 1-q a1 a1 令 a=- ,b= ,显然有 a+b=0,a≠0,b≠0. 1-q 1-q www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 a 与 c 的等比中项 3.若 a、b、c 成等比数列,则 b 叫_______________ 且b ± ac =________. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 感悟探究 2 任何两个实数都有等比中项吗?两个实数 的等比中项唯一吗? 【答案】 并不是任何两个实数都有等比中项,只有 当两个实数同号时,它们才有等比中项,但两个实数有等 比中项时,一定有两个,它们互为相反数. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 4.对于正整数 m、n、p、q,若 m+n=p+q,则等比数 aman=apaq 列中 am、an、ap、aq 的关系为____________. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 讲 之 道 讲得好不如悟得好 www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 知识点一 等比数列的定义及判定方法 考 点 归 纳 1.等比数列的定义 (1)对等比数列定义的理解可以类比等差数列来进行. (2)“从第二项起”,这是为了保证每一项的前一项确实 存在. (3)“同一个常数”这是等比数列的基本特征. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 an+1 (4)要注意 q= (n∈N+). an (5)从等比数列的定义式中可知,等比数列中无零项,即 an≠0,因此,等比数列的公比 q≠0. (6)和等差数列一样确定等比数列的条件也只要两个:某 一项和公比. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 2. 等比数列的判定方法 an+ 1 (1)定义法: = q(q 是不为 0 的常数,n∈ N*)? {an}是等比数 an 列. (2)通项公式法: an= cqn(c, q 均是不为 0 的常数, n∈N*)? {an} 是等比数列. (3)中项公式法:a2 an+2(an,an+1,an+2≠0,n∈ N*)? {an} n+ 1= an· 是等比数列. a1 n a1 a1 n (4)前 n 项和公式法: Sn= q- = kq - k, (k= 是 q- 1 q- 1 q- 1 不为零的常数,且 q≠ 0, q≠ 1)? {an}是等比数列. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 3.等比中项的定义和性质 (1)定义:三个数 a, b, c 成等比数列,那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项,且 b2= ac 或 b= ± ac. (2)b2= ac 是 a, b, c 成等比数列的必要不充分条件. 反之则不然,例如当 a 或 c 为 0 时, b= 0 这个式子也成 立.但等比数列中是无零项的,所以它们不能组成等比数列. www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 (3)两个同号的数 a 与 c 才具有等比中项,且它们的等比 中项有两个: ac或- ac. 这是因为 a、c 同号,保证了 ac>0,若 a 与 c 异号,则 ac<0,则 b2=ac<0,b 不存在. 特别地,当 a>0,b>0 时,G= ab叫做 a 与 b 的几何 *均数. a (4)三个数成等比数列的一般设法是 ,a,aq. q www.huahanbook.com 用辽大教辅 考名牌大学 4.等比数列的单调性 若数列{an}是等比数列,且公比为 q,则: (1)当 q<0 时,数列{an}是摆动数列. (2)当 0<q<1 且 a1>0 时,数列{an}是递减数列. (3)当 0<q<1 且 a1<0 时,数列{an}是递增数列. (4)当 q=1 时,数列{an}是常

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