最新人教版七年级数学下册第九章《不等式》教材梳理

发布于:2021-10-16 22:26:06

庖丁巧解牛 知识· 巧学 一、不等式 用不等号表示大小关系的式子,叫做不等式.像 a+2≠a-2 这样用“≠”表示不等关系的式子 也是不等式. 深化升华 ①不等式表示的是不相等的关系,比如:2≠1,小象的重量>小马的重量等; ②常见的不等符号有:>, <,≤,≥,≠. 二、不等式的解集 1.不等式的解:一般地,把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 误区警示 ①不等式的一个解是满足不等式的未知数的一个值; ②一般地,不等式的解不止一个,往往会有无数个. 2.不等式的解集 (1)不等式的解集:指由不等式的所有的解组成的集合,简*饧 辨析比较 不等式的解集与不等式的解: ①不等式的解集是由不等式的所有的解组成的, 换言之,不等式的解集中任何一个数都是不等式的一个解; ②不等式的解有无数个,所以,不等式的解集是一个范围. (2)不等式解集的表示方法 ①一种是“数”的方法,即用一个与它解集相同的最简单的不等式表示(如 x>a,x<b) ,比如 x-2<4 的解集是 x<6,2x>-12 的解集是 x>-6; ②另一种是“形”的方 法,即用数轴表示,比如 2 x>50 的解集是 x>75,在数轴上表示为: 5 图 9-1-1 深化升华 在数轴上表示不等式解集的步骤为: ①定“界点”,各界点本身如果是不等式的解,就用实心点,否则用空心点; ②定“方向”,相对于“界点”而言,不等号是大于号时方向向右,不等号是小于号时方向向左. (3)解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式,解不等式的结果是得到一个不等式 的解集. 3.一元一次不等式 含有一个未知数,且未知数的次数是 1 的不等式,叫做一元一次不等式. 误区警示 一元一次不等式是最简单的代数不等式,它是整式形式的不等式,比如 50 2 ? 不是一元一次不等式,因为未知数 x 在分母中,使得该不等式不是整式形式的. x 3 三、不等式的性质 不等式的性质 1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子)不等号的方向不变. 即,如果 a>b,那么 a ±c> b ±c. 不等式的性质 2:不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 即,如果 a>b, c>0,那么 ac>bc(或 a b ? ). c c a b ? ). c c 不等式的性质 3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 即,如果 a>b,c<0,那么 ac<bc(或 辨析比较 等式性质和不等式性质的相同之处和不同之处在于: 等式的性质有 2 条,它们表明,等式两边进行同样的加(减)乘(除)运算时相等关系不变; 不等式的性质有 3 条,它们表明,不等式两边进行同样的加(减)乘(除)运算时大小关系 有时改变,有时不变,对于乘(除)法运算,不等式要分乘数(除数)的正负分别论述,两 者的结果不同. 记忆要诀 同加或减同一数,不等式号还如故. 同乘除以同一数,要看次数正与负. 只有负数才变号,是零还要分乘除. 乘零两边变相等,两边除零不可行. 典题· 热题 知识点一不等式及其解集 例 1 用不等式表示 (1)a 与 1 的和是正数; (2)y 的 2 倍与 1 的和大于 3; (3)x 的一半与 x 的 2 倍的和是非正数; (4)c 与 4 的和的 30%不大于-2; (5)x 除以 2 的商加上 2,至多为 5; (6)a 与 b 两数的和的*方不可能小于 3. 解析:注意不大于、至多(指小于等于,用符号≤表示)和不小于、至少(指大于等于,用 符号≥表示)的表述方法. 答案:(1)a+1>0;(2)2y+1>3; x +2x≤0;(4)30%(c+4)≤-2; 2 x (5) +2≤5;(6)(a+b)2≥3. 2 (3) 方法归纳 用不等式表示不等关系时,一定要注意题目所表达的是什么样的不等关系, 然后采用不同的不等符号.常见不等符号有:>,<,≤,≥,≠. 例 2 下列各数中:-3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5,其中是不等式 x+1<3 的解的数是_________. 解析:不等式的解指的是能使不等式成立的未知数的值.将题中所列各数代入不等式 x+1<3, 逐一验证即可得到答案. 答案:-3,-1,0,1,1.5 例 3 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1 解析:按画数轴,定界点,走方向的步骤作答. 答案:如图 9-1-2 所示 图 9-1-2 例 4 如图 9-1-3,天*右盘中的每个砝码的质量都是 1 g,则物体 A 的质量 m(g)的取值范围, 在数轴上可表示为_____________. 图 9-1-3 解析:根据图形知道,物体 A 的质量应该大于 1 g 而小于 2 g,故选择 A. 答案:A 方法归纳 不等式是用来表示生活中的不等关系的式子,数轴是它的一种表示方式,关键 是要弄清楚界点是否属于这个范围. 知识点二不等式的性质 例 5 利用不等式的性质解下列不等式 (1)x-7>26;(2)3x<2x+1;(3) 2 x>50;(4)-4x>3. 3 解析: 利用不等式的性质将所给的各个不等式变形为最基本的形式, 不等式的解集是最简单 的不等式形式(x>a 或 x<b 等).解决这类问题的关键是:根据题目的特点,选择利用不等 式的相应的性质来解决. 答案: (1)根据不等式的性质 1,两边都加上 7,得 x-7+7>26+7, 整理得 x>33. (2)根据不等式的性质 1,两边都减去 2x,得 3x-2x<2x-2x+1, 整理得 x<1. (3)根据不等式的性质 2,两边都乘以 3 2 (或除以 ) ,得 2 3 3 2 3 × x> × 50, 2 3 2 整理得 x>75. (4)根据不等式的性质 3,两边都乘以 ? 1 ,得 4 1 1 )x<3× ( ? ), 4 4 3 整理得 x< ? . 4 -4× (? 误区警示 不等式的两边乘以(或除以)同一个

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